2.수와 식

우리는 학교에서 음수란 '0보다 작은 수'라고 배워 왔다. 그러나 이 의미에 많은 학생들이 이상하다고 느껴 본 적이 있을 것이다. 왜냐하면 0은 아무것도 없는 상태인데 그보다 더 작은 것이 있다니 말이다. 이러한 의문을 갖는 것은 바람직한 생각이다. 의문이 생기면 그 의문을 충분히 이해가 갈 때까지 따져 보고 문제를 해결해 나가는 태도가 중요하다.

16세기 쯤 유럽의 수학자들도 음수란 0보다 작은 수라고 하면서 실제로 존재하지 않는 '가짜의 수'라고 생각하고 있었다. 현재도 음수는 실제로 존재하는 것이 아니고, 수학 속에서만 다루어지는 수라고 여기는 사람들이 많은 것 같다. 그렇다면 많은 사람들이 실제로 존재한다고 생각하고 있는 자연수, 즉 1,2,3,…은 어디에 존재하는 것일까? 사실 자연수 1,2,3,…이라는 수는 어디에도 존재하고 있지 않은 수이며, 다만 이들 수를 사용하면 실제로 생활에 편리하기 때문에 우리 인간끼리 약속을 한 것일 뿐이다. 이런 뜻에서라면, 음수도 실제 생활에 쓸모가 있으면 '실제로 존재하는 수'라고 여길 수 있을 것이다. 그 예를 들어보자. 여기서 주의해야 할 것은 음수가 0보다 작은 수라고 할 때, 0은 아무 것도 없다는 뜻이 아니라 기준으로서의 0을 가리킨다는 사실이다.

지금 A,B,C라는 세 사람이 수학 시험을 보았는데,A는 60점, B는 80점, C는 90점을 받았다고 하자. 이 때 B에 비하여 A,C 두 사람의 수학 점수의 차이는 B의 점수를 0이라고 할 때,A는 -20점,C는 +10점이 된다. 이와 같이 -20점과 같은 음수는 실제로 존재하고 있다.

뿐만 아니라 온도계에서는 영하의 온도를 마이너스(-)로 나타낸다든가, 수면의 위쪽 높이를 +,그 아래쪽을 -로 나타낸다던가 등, 음수 즉 마이너스(-)의 쓰임새는 실제 생활의 여러 곳에서 찾아볼 수 있다. 이와 같이 음수도 단지 계산에만 등장하는 수가 아니고, 현실 세계의 여러 가지 양을 나타내는 수란 사실을 알 수 있다.

음수를 처음 사용했던 중국

고대 인도에서는 음수의 존재를 최초로 인식하였지만, 이것이 일반적으로 받아들여지기까지는 오랜 세월이 걸렸다.

그런데 중국에서는 이미 2000년 전부터 음수의 계산이 행해지고 있었던 사실이 '구장산술' 등에 의해 전해지고 있다.

그 당시 중국에서는 산목(算木)을 나열하여 계산을 하였는데, 양수는 빨간색, 음수는 검은색의 산목을 사용했다.

또, 후에는 한 종류의 산목만으로 계산을 하였는데, 수를 나타내는 산목의 밑에 다른 하나의 산목을 밑에 다른 하나의 산목을 비스듬히 놓아 음수를 나타내었다.

음 수 의 역 사

'0보다 작은 수'에 대한 개념이 생긴 것은 방정식이 성립되면서, '작은 수에서 큰 수를 뺄 때에는 어떻게 하면 좋을까'라는 의문이 생기고부터 라고 생각된다.

이 되는 □의 수는 8 - 5로 계산하여 3임을 알 수 있었다. 그러나

가 되는 □의 수를 정하기 위해서는 2 - 5의 계산을 할 필요가 있었다. 이러한 사실에서,'0보다 작은 수'인 음수의 존재는 아주 오랜 옛날부터 알려져 있었던 듯하다. 그러나 일반적으로 받아들여져 사용하게 된 것은 그리 오래 된 일이 아니다.

고대 그리스의 디오판토스(3세기경)는 방정식의 답이 음수가 될 경우에는 답이 없는 것으로 취급하였다.

또, 최초로 음수를 발견했다고 하는 인도에서는 양수는 재산, 음수는 부채로 비유하여 설명하고 있지만, 음수의 곱셈이나 나눗셈은 수학자들 사이에서조차 정확하게 이해하고 있었는지에 대해서는 불확실하다. 아무튼, 그 당시의 사회에서는 아직 음수는 그 필요성이 없었고, 더우기 일반인들에게는 전혀 거리가 먼 수였다.

그런데 음수가 받아들여져 사용된 것은 이탈리아의 수학자 카르다노(1501∼1576)의 공적에 힘입은 바 크다. 그의 유명한 저서인'아르스마그나'에 방정식의 일반적인 성질을 자세하고 체계적으로 서술하고 있는데, 그 중에서도 음수의 개념을 확립하고 양수와의 여러 가지 법칙을 명확하게 밝히고 있다.

그러나 음수의 중요성이 결정적으로 부과된 것은 근래 350여 년 사이로, 특히 데카르트(1596∼1650)가 좌표를 고안하여 사용하기 시작했을 때부터이다.

소수(素數)는 과연 몇 개일까?

자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 소수라고 한다. 무한히 많은 자연수 중에서 소수는 과연 몇 개일까? 또, 가려내는 방법은 없을까?

많은 자연수 중에서 소수를 가려내는 방법으로 '에라토스테네스의 체'가 잘 알려져 있다.

자연수 중에서 소수를 찾는 방법은 '에라토스테네스의 체'에 의한 방법뿐이며 그 후 2200년 동안 연구해도 특별한 방법을 찾아내지 못했다. 어떤 수라도 즉시 소수인지 아닌지 구별하는 방법을 발견한다면 세계 수학사에 이름을 남기게 될 것이다.

에라토스테네스의 체

1에서 50까지의 자연수 중에서 소수들을 가려내 보자.

먼저 1에서 50까지의 수를 차례로 쓴다.

우선 1은 소수에서 제외되므로 지우고, 다음에 나타나는 2를 남기고, 2의 배수들을 지워 나간다. 이어서 2 다음에 나타나는 3을 남기고, 3의 배수들을 지워 나간다. 또, 3다음의 5를 남기고 5의 배수를 지우고,…의 순서로 지워 나갔을 때, 남는 수들이 소수이다.

실제로 소수를 구해 보면 100을 넘어서면서부터는 그 수가 급격히 줄어드는 것을 알 수 있다. 그렇다면 과연 소수는 몇 개쯤이나 될까? 유한개일까? 무한개일까?

그리스의 대 수학자 유클리드는 무한개라고 자신있게 말했다. 유클리드의 증명을 알아보자. 만일 소수의 개수가 유한개라면 가장 큰 소수가 존재할 것이므로 그 최대 소수를 M이라 하고 다음과 같은 식을 만들어 보자.

여기서 자연수 p는 소수이거나 합성수이어야 한다. 만일 p가 소수라면 M이 최대 소수라는 가정에 위배되고, p가 합성수라면 p는 소수들의 곱으로 분해할 수 있으므로 p를 분해하는 M보다 더 큰 어떤 소수가 있어야 한다. 이것 역시 M이 최대 소수라는 가정에 위배된다. 따라서 소수는 무한개다.

그런 중에서도 어떤 소수들은 재미있는 형태로 되어 있다. 다음에 있는 수처럼 연속하여 있는 소수를 쌍둥이 소수(쌍자소수) 라고 한다.

이와 같은 짝은 1부터 200사이에 몇 게나 있을까? 실제로 여러분이 직접 해 보자.

답:100에서 200까지의 쌍자소수 (101,103),(107,109),(137,139),(149,151),(179,181),(191,193),(197,199)
를 포함해 10개이다.

소수의 발생은 분포 상태가 불규칙적이라는 것을 다음 표를 보면 곧 알 수 있다.


범 위	0 ∼ 10	0 ∼ 100	0 ∼ 1000	0 ∼ 10000	0 ∼ 100000	0 ∼1000000
소수의 개수	4	25	168	1229	9592	78498
분포율(%)	40	25	16.8	12.3	9.6	7.8

위의 표와 같이 그 범위가 넓어지면 넓어질수록 소수의 분포율이 적어진다는 것이다.

소수에 대한 순수한 연구와 사색은 겉으로 보기엔 무익한 것처럼 보이나 실제로는 신용카드와 원거리 통신, 국가 안보 등에 깊숙이 관련되어 있고, 또 큰 소수를 발견하기 위한 노력이 계속되고 있다. 1996년 미국의 크레이연구소가 발표한 바에 의하면 현재까지 발견된 소수 중 가장 큰 것은 한 번 적는 데만도 신문 12개 면이 필요한 37만 8천 6백 32 자리의 수로 알려져 있다.

왜 0으로 나누면 안되는가?

이 곱셈의 결과가 0이 되기 위해서는 □안의 수가 0이 되어야 한다. 따라서, 0 ÷ 5 = 0

0에 어떤 수를 곱하여도 그 곱은 0이 된다. 그런데 이 경우는 0에 □를 곱하여 5가 되었다. 따라서, □안에 알맞은 수는 없다. 즉, 5 ÷ 0의 답은 없으므로 이것은 의미가 없다. 그러므로 어떤 수를 0으로 나누어서는 안된다.

어떤 수를 넣어도 된다. 즉, 0에 어떤 수를 곱하여도 그 곱은 0이기 때문이다.

호르스의 눈

이집트에는 매의 머리를 가진 "호루스"라는 신이 있는데 이 호루스의 눈에 관한 다음과 같은 신화가 전해지고 있다.

하늘의 신과 땅의 신 사이에서 태어난 오시리스는 이집트를 문명국으로 발전시켰으나 그의 동생 세트는 형을 시기하여 흉계를 꾸며 형을 죽이고 시체를 토막내어 이집트 각지에 뿌렸다. 그런데 오시리스의 아내 이시스는 남편의 시체를 모아 부활시켜 저승의 왕이 되게 하였다. 한편, 오시리스의 아들 호루스는 세트를 물리치고 왕위에 오르지만 세트가 그의 눈을 뽑아 산산조각 내어버린 것을 지혜의 신 토토가 다시 모아 원래 모습을 되찾게 해 주었다. 이 신화로 이집트인들은 눈 전체를 1로하여 각 부분에 분수를 배치하였는데 부족한 (64분의 1)은 토토의 신이 보충한다고 한다.

+, , ×, ÷의 옛 부호

오늘날 우리는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 계산에 각각 +, , ×, ÷의 기호를 써서 시간과 노력을 절약하지만, 수학의 역사에서 보면 이 기호는 비교적 새로운 것이다. ú

초기 바빌로니아 수학자들도 말 대신에 기호를 사용했다. 오른쪽의 것들은 각 시대에 사용되었던 연산 기호의 한 가지 예이다.

♠덧 셈 르네상스 시대의 산술가 타르탈리아는 덧셈의 기호로, 이탈리아 어 piu(플러스)의 머리글자를 사용했다. 현재의 +기호는 라틴어 et(and)를 간략하게 한 것이다.
◆뺄 셈 그리스의 디오판토스가 즐겨썼다. 현재의 -기호는 중세 상인이 물건의 무게의 차이를 나타내기 위해 사용했던 가로대에서 유래되었다고 생각된다.
♥곱 셈 17세기의 독일 철학자 라이프니츠가 사용한 기호이나, 그 당시 이미 성 안드레의 십자가에서 유래한 현재의 ×기호가 알려져 있었다. 그는 ×기호가 미지수 χ와 혼동되기 쉽다고 생각한 것이다.
♣나눗셈 18세기의 프랑스의 갈리마르가 나눗셈의 기호로 D자를 뒤집은 기호를 사용했다. 현재의 ÷기호는 단순한 분수의 가로선에서 유래하며, 그 아래위의 점은 장식이라 생각된다.

수의 도형-삼각수와 사각수

피타고라스 학파의 사람들은 존재하는 수는 어떤 형태를 가져야만 된다고 생각했기 때문에 항상 수를 도형과 관련시켜서 생각했다. 그들은 점을 나타내는 모나드(monad:單子)를 생각했으며, 이 모나드의 아름다운 배열에 의해서 표시되는 수에 특히 흥미를 가지고 있었다.

그것의 대표적인 것은 모나드를 정삼각형의 모양으로 배열해서 나타낼 수 있는 수이다.

그들은 아래의 그림과 같이 모나드를 정삼각형의 모양으로 배열해서 나타낼 수 있는 수를 삼각수라 하고, 또 모나드를 정사각형의 모양으로 나타낼 수 있는 수를 사각수라 하였다.

수의 지혜

옛날 어느 나라의 왕은 모양과 색깔이 같은 64개의 보석을 가지고 있었다. 왕은 이 보석을 오른쪽 그림과 같이 한가운데를 비워 두고 가로, 세로 어느 줄을 합하여도 모두 24개씩 되도록 넣어 두었다.

왕은 날마다 이 보석을 보면서 즐거워하였다. 그런데 왕에게는 영리한 4명의 왕자가 있었다. 하루는 네 왕자가 상의하여 장난을 하기로 하였다.

그 날 밤 첫째 왕자는 보석이 있는 방에 몰래 들어가 보석 4개를 꺼낸 다음, 아래 그림과 같이 가로, 세로 어느 줄이나 24개씩 되도록 보석을 옮겨 놓았다.

그 다음 날 밤에는 둘째 왕자가 또 보석 4개를 꺼낸 다음, 가로, 세로 어느 줄이나 24개씩 되도록 옮겨 놓고 나왔다.

3일째 밤에는 셋째 왕자가, 4일째 밤에는 넷째 왕자가 똑같은 방법으로 하여 보석 4개씩을 빼내었다.

음수란 무엇인가?	호르스의 눈
음수를 처음 사용했던 중국	+, ,×, ÷의 옛 부호
음수의 역사	수의 도형 삼각수와 사각수
소수는 과연 몇개일까?	수의 지혜
왜 0으로 나누면 안될까?	가우스의 속셈비결

수와 식과 관련된 이야기

에라토스테네스의 체