마방진이란 무엇인가?

마방진이란 무엇인가?	원의 비밀
방앗간과 뫼비우스	나는 바닷가에서 놀고 있는 소년
퍼즐 다섯 고개

마방진이란 아래 그림과 같이 가로, 세로, 및 대각선에 있는 각각의 합이 같도록 배열한 것을 말한다. 마방진은 가로, 세로 3×3 형의 방진에서 4×4, 5×5, 6×6 …과 같이 여러 가지 형태로 만들 수 있다.

먼저, 빈칸이 9개 있는 정사각형을 만들고(그림 A), 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 비스듬히 1, 2, 3, … 9까지의 숫자를 그림B와 같이 쓰고, 정사각형의 바깥쪽에 있는 각 숫자를 그 줄에서 가장 먼 자리에 있는 칸으로 옮겨쓴다. 즉, 1은 9 바로 위에, 3은 7옆에 그리고 9 는 5 위에 오도록 한다

4×4 형은 가로, 세로 4줄로 된 칸을 만들고 그림처럼 대각선 2개를 긋는다. 그리고 각 칸마다 A, B, C…와 같이 이름을 붙인다. 먼저, 1을 A칸에 둔다.그러나 대각선이 있기 때문에 쓰지 않고 그대로 둔 채 2를 다음 B칸에 3을 C칸에 써 넣는다. 6, 7은 F, G칸에 들어가야 하지만 대각선이 있기 때문에 그만 두고, H에 8을 넣고, I에 9를 넣는다. J, K에는 10, 11이 들고, N, O에 14, 15를 넣는다.

다음은 대각선상에 있는 칸을 메워 간다. P에 1을 A에 16을 둔다. 이어서 왼쪽에서 오른쪽으로 15, 14, 13 …과 같이 거꾸로 D에 13을 F, G, J, K, M에 각각 11, 10, 7, 6, 4를 채우면 4×4 형의 마방진은 완성된다.

5×5 형의 마방진도 3×3 형의 같은 방법으로 만들 수 있다. 이런 식으로 7차, 9차의 마방진도 만들 수 있다.

정사각형에 오른쪽과 같이 1부터 9까지의 수를 대입하면 가로,세로, 대각선의 합이 모두 15로 같게 된다.

옛날 사람들은 이와 같은 것에 신비로움을 느껴 때로는 마귀를 쫓는 부적으로도 사용하게 되었고, 서양에서도 매직 스퀘어(Magic Square)란 용어가 사용되었다.

마방진에 쓰이는 숫자는 중복하여 쓰면 안 되고, 자연수를 꼭 한 번씩만 써야 한다. 이미 완성된 마방진을 보면 간단한 것 같으나 실제로 시도해 보면 매우 어렵다.

마방진의 기원은 분명하지는 않으나 약 3000년 전 중국의 우(禹)나라의 우왕(禹王)이 강의 치수 공사(治水工事)를 하던 중에 물 속에서 나온 거북이 등에 있는 무늬를 보고 처음으로 생각해 내었다고 한다. 그 후 많은 사람들이 연구한 결과 매우 큰 수의 마방진까지도 만들어 내었다.

일반적으로 홀수 개의 마방진은 다음과 같은 규칙으로 만들 수 있다. 화살표와 같이 진행하여 작성한다.

마방진이란 일반적으로 1에서 n²까지의 자연수를 n행(가로줄), n열(세로줄)이 정사각형 모양으로 중복없이 배열하여 가로, 세로, 대각선 방향의 선에 따른 수의 합이 전부 같게 되도록 만든 것을 말한다. 여기서 정사각형의 한 변에 배열된 자연수의 개수 n에 방향의 선에 따른 수의 합은 3방진은 15, 4 방진은 34, 5방진은 65, …, n방진은 n(n²+1) / 2 이다.

우리나라에도 30세에 진사 시험에 수석 합격하고, 그 후 부제학, 이조참판, 우의정, 좌의정, 대제학 그리고 마침내는 영의정 등 왕조의 주요 직책을 모두 거쳤던 수학자 최석정(1646∼1715)이 다음 그림과 같은 마방진 비슷한 것을 창안하여 그의 수학 저서인 「구수략」(九數略)에 실었다.

1에서 30까지의 수를 한 번씩만 사용하여 만든 마방진으로, 각 육각형의 수의 합은 같다.

마방진(魔方陳)이란 가로, 세로, 대각선 위의 합이 모두 같아지도록 수를 나열한 것이다. 여기서, 방(方)은 정사각형, 진(陳)은 나열한다는 뜻이다. 마방진은 마법진이라고도 하는데, 이것은 영어의 magic square를 번역한 말이다.

기원전 5000년경 하(전설 속의 중국의 고대 왕국)의 우왕이 계속되는 황하의 범람을 막기위해 제방 공사를 시작할 때, 한 마리의 거북이 흘러 내려왔는데 그 거북의 등에 마방진이 그려져 있었다고 한다. 그 거북이 흘러 내려온 이후 홍수가 그쳤다는 이야기가 전해지는데, 이것이 마방진에 관한 가장 오래 된 이야기이다.

그 후, 마방진은 신비한 전설과 같이 인도, 페르시아, 아라비아의 상인들에 의해 서아시아, 남아시아, 유럽으로 전해졌다.

16세기에는 독일인 뒤러의 동판화 '멜랑콜리아'에 마방진이 그려진 것이 동기가 되어 전 유럽에서 유행하게 되었다. 당시의 유럽에는 신비주의라 불리는 사상이 있어, 그 사상에서 기인한 점성술이라든가 연금술이 현재의 과학과도 같이 연구되었다.

멜랑콜리아 1514년에 그려진 동판화로 그림 속의 4방진은 유럽의 방진으로서는 가장 오래 된 부류에 속한다.

'멜랑콜리아'에는 생각에 잠겨 있는 수학자의 뒤에 마방진이 걸려 있다. 왜 이 그림에 마방진을 그려 넣었을까? 거기에는 먼저 고대 그리스의 의학에서 시작된 '사성론'에 대해서 설명하지 않으면 안 된다. 사성론은 인간의 몸 안에는 네 종류의 액체가 흐르고 있는데, 그 중 어느 것이 더 많은 가에 따라서 그 사람의 성격이 정해진다고 하는 이론이다. 즉, 혈액이 많은 '다혈질'의 사람은 활동가, 담즙이 많은 '담즙질'의 사람은 변덕쟁이, 점액이 많은 '점액질'의 사람은 끈질긴 성격의 사람, 흑담즙이 많은 '우울질'의 사람은 내성적인 사람이라는 것이다.

이러한 사성론에 따라, 창의적인 사람, 즉 수학자 등은 우울질의 인간으로 보고, 이들은 측량, 건축, 연금의 신인 토성의 지배를 받는다고 생각하였다.

따라서, 사색에 열중하여 우울질이 높아지면, 이러한 토성의 영향을 지워 버리고 기분을 전환하기 위해서 목성의 보조가 필요하다고 생각하였다. 당시의 점성술사는 마방진을 별과 연관지어 3방진은 토성, 4방진은 목성, 5방진은 화성, 6방진은 태양, 7방진은 금성, 8방진은 수성, 9방진은 달의 상징이라 하였다.

그래서 '멜랑콜리아'에는, 생각에 열중하고 있는 수학자의 머리를 쉬게 하기 위해서 목성을 나타내는 4방진이 그려진 것이다.

신비주의와 수학의 결합은 마방진뿐만 아니라, 점설술, 연금술 등에도 나타나 있다. 그러나 점성술이나 연금술에서는 수학읗 수학으로서 탐구한 것이 아니라, 도형이나 수를 제각기 의미를 가진 것으로 보고 보다 추상적, 형식적인 것으로써 발전시켰다.

그 후, 유럽은 새로은 시대로 들어간다. 그래서 신비주의 사상 안에서 자라난 점성술은 천문학으로, 연금술은 화학의 발전으로 이어졌다. 또, 신비주의와 수학의 결합은 무엇보다도 수나 도형에 대한 흥미를 일부 과학자만의 것에서 일반인의 것으로 번져나가게 하는데 도움이 되었다.

마방진은 정사각형 외에도 여러 가지 유형을 생각할 수 있다.

오른쪽의 마방진은 원주 8원진이라 불리는 것으로서, 1부터 33까지의 수를 그림과 같이 배치하면, 4개의 동심원 위의 수의 합이 140이 된다. 여기에 중심의 1을 더하면 141이 되고, 4개의 지름 위의 수의 합도 141이 된다.

우리들은 가끔 새로운 것을 발명해 내는 사람들을 보고 부러워하기도 하고 감탄하기도 하면서, 자기 자신이 '한번 발명가가 되어볼까?' 라고 생각하는 사람은 별로 없다. 마치 발명가는 뛰어난 사람이거나 자기와는 다른 세계의 사람이라고 생각해서일까? 그러나 여러분들도 생각하는 방향만 바꾼다면 발명가가 충분히 될 수 있다.

자! 그러면 여러분들도 이 글을 읽으면서 생각하는 방법을 바꾸어 보자.

우리들은 너무나 고정 관념의 틀 속에 갇혀 지내고 있다. 가끔 이 고정 관념을 깨는 습관을 갖도록 하자. 예를 들면 우리 옆집에 사는 아저씨와 2백 리나 멀리 떨어진 곳에 사시는 고모님과의 관계를 생각해보자. 누가 더 가까운가? 옆집 아저씨? 멀리서 사시는 고모님? 생각하기에 따라서 답이 달라질 수 있다. 거리 개념으로 따지면 옆집이니까 옆집 아저씨가 가깝지만, 혈족 개념으로 따지면 2백리나 떨어져 있어도 아버지의 누이동생이므로 고모님이 무척 가깝다. 이와 같이 무엇에 기준을 두느냐에 따라 답이 달라지는 것이다.

독일의 유명한 수학자 뫼비우스(Mobius, A. F.;1790∼1868)도 당시에는 생각하지도 못한 것을 생각해 냈다. 그 당시에는 유클리드 기하학이 널리 퍼져 있었다. 사람도 앞과 뒤가 있듯이 모든 물체에는 앞면이 있으면 반드시 뒷면이 있다고 믿고 있었으며, 아무도 앞면만 있을 수 있다는 것을 생각하려고 하지도 않았던 때, 뫼비우스는 혹시 앞면만 있을 수 없을까를 생각하여 만들어 낸 띠가 바로 뫼비우스의 띠이다. 오늘날 방앗간에서 벨트를 이용하여 기계의 축을 돌리는데, 이 벨트 중 한 번 꼬여 있는 것이 바로 뫼비우스의 띠이다. 이와 같이 만들어 기계의 축을 돌리면, 면이 모두 기계에 닿게 되므로 벨트의 수명이 훨씬 길어지게 되는 것이다. 자! 여러분 당연하다는 고정 관념에서 벗어나 그렇지 않을 수도 있다는 생각을 해 보지 않겠습니까?

우리는 문제를 푸는 데 고정 관념에 사로잡혀 그 문제를 해결하지 못하는 경우가 종종 있다. 다음 문제들은 이러한 고정 관념에서 벗어나야 풀 수 있는 문제들이다.

1. 금년에 다같이 80세가 된 노부부가 있다. 이들은 결혼 이후 오늘까지 하루도 거르지 않고 아침 산책을 했다고 한다. 그런데 작년 2월에는 꼭 14일만 아침 산책을 했다. 왜 14일만 아침 산책을 했을까?
2. 넓이가 10km²인 어떤 목장에서 작년에는 200마리의 젖소를 길렀다. 이 소들은 1년에 2km²의 목초지의 풀을 뜯어 먹는다고 한다. 목초지의 여유가 있어 금년에는 300마리의 젖소를 더 키우려고 했다.

그렇다면 이 소들이 이 목장의 풀을 모두 뜯어 먹으려면 몇 년이 걸릴까?

3. 철수는 어느날 저녁에 몹시 피곤하여 9시에 취침하였다. 잠자기 전에 자명종을 정오에 맞추어 놓았다면, 벨이 울릴 때까지 몇 시간을 잤을까?

1. 이 노부부는 작년 2월 14일에 결혼하고 그 이튿날부터 산책을 했다.

2. 몇 년이 지나도 풀을 모두 뜯어 먹을 수 없다. 1년이 지나면 풀은 다시 자란다.

3. 3시간. 정오에 시간을 맞추어 놓아도 벨은 밤 12시에 울린다.

18C의 위대한 수학자 뉴턴이 말하기를 "바닷가에서 놀고 있는 소년과 같습니다. 아이들은 바닷가에서 예쁜 조개껍질이나 작은 돌을 주으며 놀고 있습니다. 바다 속에는 아름다운 것들이 더 많이 있지만 아이들은 단지 바닷가에 있는 것들만 주으며 만족하고 있습니다. 나도 마치 이 아이들과 같습니다. 우주에는 많은 일들이 있지만 나는 그 중의 아주 작은 일부분을 알아 낸 것에 불과합니다. 아직도 많은 지식들이 발견되지 않은 채로 남아 있습니다. "세상에는 별 지식이 없으면서도 잘난 척 하려는 사람도 많이 있는데도 오히려 뉴턴은 순수하고 겸손한 마음을 가지고 어린 아이에 비유해서 말했습니다.